Una lepre attraversa un campo con un moto rettilineo uniforme. Un cane la vede e parte all'inseguimento, puntando sempre verso la lepre. Trovare la traiettoria del cane.

Questo problema ci ha fatto penare parecchio e per parecchio tempo. Compariva in fondo ad un foglio di esercizi di analisi sulle equazioni differenziali ed ha resistito per giorni ai nostri attacchi, che si vanificavano davanti a impenetrabili muraglie di intrattabili derivate seconde. Finalmente ho trovato (praticamente per caso) la via per aggirare il problema ed il bene ha infine trionfato.
Soluzione

Ogni permutazione può essere scritta in modo unico come prodotto di cicli disgiunti, quanto vale la media del numero di tali cicli tra tutte le possibili permutazioni di n elementi?
Soluzione

Dato un gruppo finito il cui ordine sia primo con n(n-1), e tale che a^nb^n=(ab)^n per tutti gli elementi, dimostrare che è abeliano.
Dimostrazione

Dato un gruppo di ordine 2d con d dispari, dimostrare che esiste un sottogruppo di ordine d.
Dimostrazione

Dato un gruppo finito di ordine divisibile per un primo p, dimostrare che esiste un elemento di ordine p.
Dimostrazione

Dato un primo p, dimostrare che esistono esattamente 5 gruppi di ordine p^3 a meno di isomorfismi.
Dimostrazione

Dato un gruppo finito non abeliano G, dimostrare che la probabilità che n elementi di G scelti casualmente ed in modo indipendente commutino tutti tra loro è minore o uguale a 3/2^n-1/2^(2n-1).
Dimostrazione

Dimostrare che da un qualunque ordinamento dei numeri da 1 a n^2+1 è sempre possibile estrarre una sottosuccessione monotona di lunghezza n+1.
Dimostrazione

Dimostrare che ogni primo congruo a 1 modulo 4 è esprimibile come somma di due quadrati di solito si fa in modo semplice ma un po' lungo passando per alcune osservazioni sui residui quadratici
Ho trovato su internet questa bella e sinteticissima dimostrazione (attribuita a Zagier)

Dimostrare che il polinomio q(x)=x^p-x+1 con p primo è irriducibile sui razionali.
Soluzione

Calcolare la somma di 1/(n-1) con n che varia tra tutte le potenze perfette.
Soluzione

Sia f una funzione derivabile definita sull'intervallo chiuso [a,b] e tale che f(a)=a e f(b)=b.
Dimostrate che esistono due punti distinti r e s nell'intervallo aperto (a,b) tali che 1/f '(r) + 1/f '(s)=2
Soluzione

Il teorema fondamentale dell'Algebra afferma che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice nei complessi (questo implica che ne ha esattamente tante quante il grado).
Una bella soluzione quasi interamente algebrica

Tutti conoscono la dimostrazione per assurdo di Euclide dell'infinità dei numeri primi.
Questa è una simpatica dimostrazione topologica.

Il Kosniowski, immediatamente dopo aver introdotto gli assiomi di separazione, chiede innocentemente di costruire spazi T₀ non T₁, T₁ non T₂, T₂ non T₃ e T₃ non T₄, impresa tutt'altro che facile che non siamo riusciti a portare a termine e che si è ingloriosamente conclusa con l'aiuto di un deus ex machina che ci ha rivelato esempi degli ultimi due spazi.

Una dispensa sul principio di Inclusione-Esclusione e alcune sue prime applicazioni.

La mia tesi di laurea (triennale).

Il primo compitino per casa del corso di Geometria Differenziale, con le mie soluzioni.

Il compitino per casa del corso di Codici, con le mie soluzioni.

Le slides del seminario che ho tenuto durante il corso di orientamento univarsitario della Normale a Cortona nel luglio 2008.